一、期权定价回顾
    在最初的公式中，B—S模型是针对欧洲股票期权而设计的，不仅禁止提前执行，而且不考虑股利。不久之后，Black与Scholes发现大部分股票都分派股利，于是在模型中添入股利的成分。1976年，Fischer Black稍微修改模型，借以评估期货期权的价值。1983年，Mark Garman与Steven Kohlhagen又做了一些修改，使该模型也适用于外汇期权。期货的版本与外汇的版本分别称为Black Model与Garman—Kohlhagen Model，它们的结构非常类似，所以统称为“B—S模型”。
    (二)一般的Black—Scholes期权定价公式
    Black、Melton和Scholes共同发展了动态的瞬时套期保值思想。也就是说，在持有看涨期权部位时，通过与适当数量(该数量可以进行动态调整)的其他标的资产搭配，有可能构造出无风险投资组合。
    在建立Black—Scholes方程进而推导Black—Scholes公式时，Black和Scholes做出许多前提性假设。这些假设可以分成两组：有关股票价格是如何分布的假设和有关经济环境的假设。关于股票价格分布的假设包括下列内容：①股票的连续复合回报是正态分布的，并在时间段上是独立的(即我们假定股票价格不存在“跳跃”)；②连续复合回报的波动率是已知的并且是常数；③对未来的股利认为是已知的，无论是以一个货币金额(离散股利模型)还是以一个固定的收益率(连续股利模型)。关于经济环境的假设包括：①无风险利率是已知的，并且是常数；②没有交易成本和税收；③无成本地卖空和以无风险利率借款是可能的。
    经典的Black—Scholes方程和欧式看涨期权的Black—Scholes公式如下：
    
    这里V表示期权(既可以是看涨期权，也可以是看跌期权)的价值，V[,t]是期权的价值对时间的求导，V[,S]是期权的价值对标的资产价格的求导，V[,SS]是期权的价值对标的资产价格求二阶导数。一个欧式看涨期权具有的边界条件是：
    
    解附带边界条件的这个控制方程，得到对在一个以连续股利率派发股利股票上的一个看涨期权的Black—Scholes公式是：
    
    这里
    
    出现的数学记号说明如下：S是期权合约中标的资产的价格；K是行权价格；T是期权剩余的生命期；r代表市场上的无风险利率；σ代表标的资产的波动率；δ是标的资产的连续股利收益率；N(.)表示的是累积标准正态分布。
    1976年，Black研究出期货期权的定价模型。该模型假设期货价格F遵循如下的几何布朗运动：
    
    其中，
    
    我们通过一个例子具体说明应用该模型计算期货期权的价值。
    [例]我们考虑模拟交易中执行价格为1700元的小麦601看涨和看跌期权。距离到期日还有7个交易日，当前期货价格为1731元，无风险利率为3％，期货价格的波动率为每年0.15，试计算看涨和看跌期权的价值。
    
    (三)期权定价参数对期权价格的影响
    1.标的期货价格。标的期货价格上涨，看涨期权价格上涨，看跌期权价格下跌；标的期货价格下跌，看涨期权价格下跌，看跌期权价格上涨。这一现象可以直观地由看涨期权和看跌期权的定价公式中得出：
    
    其中，C为看涨期权理论价格，P为看跌期权理论价格，F为标的期货合约价格。C与F成正比关系，P与F成反比关系。
    从市场角度分析，对于看涨期权来说，若执行价格确定，标的期货价格越高，看涨期权的实值程度越深，虚值程度越小。期货价格上涨，意味着看涨期权持有者执行期权后，获得的期货多头持仓可以在期货市场上以更高价格卖出，盈利空间增大，亏损空间缩小。因此，看涨期权价格随期货价格上涨而升高。
    对于看跌期权来说，情况恰与看涨期权相反。若执行价格确定，标的期货价格越高，意味着看跌期权的持有者执行期权后获得的期货空头持仓在市场上的买进平仓价格越高。所以，该期货头寸的盈利空间随之缩小，或亏损空间随之增大。因此该看跌期权的价格越低。
    2.执行价格。执行价格越高的看涨期权，其理论价格越低；执行价格越低的看跌期权，其理论价格越高。执行价格高的看涨期权，买方执行后获得的期货多头开仓价位高；执行价格低的看涨期权执行后获得的期货多头开仓价位低。显然，期货多头开仓价位越低，其获利空间也就越大，亏损空间也就越小。因此，执行价格低的看涨期权理论价格高于执行价格高的看涨期权。与之相反，执行价格高的看跌期权，持有者执行后获得的期货空头开仓价格高；执行价格低的看跌期权，持有者执行后获得的期货空头的开仓价格低。期货空头开仓价位越高对其持有者越有利，因此，对应的看跌期权的价格越高。
    3.距到期日日期。距到期日日期也可以称作期权生命期，它对期权理论价格的影响是正向的。不论看涨期权还是看跌期权，距离到期日时间越长，其理论价格就越高。
    4.无风险利率。无风险利率是任何金融衍生产品在定价时都必然包含的参数，它代表了市场参与者使用货币资金的必不可少的机会成本，也就是市场主体持有货币资金在无风险条件下能获得的回报。它与期权理论价格成反比关系。
    5.波动率。标的期货合约市场价格的波动率意味着其未来可能出现的价格变化幅度。价格变化幅度越大，对看涨期权和看跌期权来说，盈利空间就越大。只有标的资产未来价格存在出现波动的可能对应的期权才具有交易价值。如果市场已经明确标的资产价格将一直保持不变，那么，投资者就没有必要通过期权规避标的期货资产的风险。因此，波动率与期权理论价格成正比关系。
    各因素对期权理论价格的影响如表1所示。
    

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