一、关于数学问题结构性变式教学
    对于数学变式题的分类，有许多不同的界定。孙旭花、黄毅英、林智中合作的《数学问题结构性变式的研究》（选编于《中国数学双基教学》）将变式分为表面特征变化的水平变式和结构变化的垂直变式。表面形式特征是指问题呈现的表述方式的“浅层”特征。数学结构特征指涉及问题本质的概念、关系与原则等的“深层”特征。
    数学问题结构性变式教学是指通过适当的水平变式和恰到的垂直变式，抽取出问题表面特征以外的数学结构特征，从而达到数学学习的内化，关注数学本质的一种变式教学。
    表面形式变化的水平变式实际上是以“重复”源问题来实现的，也就是说，“重复”通过水平变式源问题得以发展，水平变式反映的是量的问题。数学结构变化的垂直变式实际上是以“突破”源问题来体现的，也就是说，“突破”通过垂直变式源问题得以升华，而垂直变式反映的则是质的问题。
    
    结构性变式教学螺旋上升示意图
    数学问题的变式发展是螺旋上升的（见上图）。是一种从量变到质变的过程。因此，在数学教学中要握好“重复”的“量”和“突破”的“度”，注意“重复”和“突破”的和谐统一，只有这样，才能有助于形成真正意义上的“螺旋上升”的数学知识结构。
    二、一个数学问题结构变式典型例子的分析
    
    源问题是一个运用加减消元法解二元一次方程组的典型例题，根据一般初中学生的认知水平，变式题组一为水平变式题，变式题组二为垂直变式题。
    源问题提供了利用加减消元法解二元一次方程组的样本，其中包括与学生有关的关键成分：规则功能、适用条件等，学生从源问题中可获得加减消元法解决二元一次方程组的初步认识，再加上水平变式题的训练，逐步建立起利用加减消元法解二元一次方程组的数学结构。
    变式题组二采用含字母系数的二元一次方程组进行垂直变式的训练，学生通过反思源问题中利用加减消元法解二元一次方程组的特点，逐步摆脱源问题的表面内容，认识到加减消元法解二元一次方程组的关键是方程组同一未知数的系数相同或互为相反数（或者通过变形得到系数相同或互为相反数），从而抓住了利用加减消元法解二元一次方程组的本质，发展了原来的数学结构，建立新的数学结构。
    当然，我们可以将问题引向更高结构层次，解决含有更多未知数的一次方程组的解的问题。如：解方程组
    上例是比较典型的数学问题结构性变式题，既包括表面形式变化的水平变式题，又包括数学结构变化的垂直变式题。通过以上的结构性变式教学，学生就会形成一张较为完整的数学知识网络，就会更加高瞻远瞩地看待问题，把数学问题结构化。模型化，使得更加有基础和有能力加快对新知识的理解和学习，从而更加有效的学好数学。
    三、两个数学问题结构性变式实例的教学与设计
    1.一个源于中考题的数学问题结构性变式实例的教学
    例2 （2006年辽宁省大连市）图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处。
    
    (1)求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
    (2)求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；
    (3)根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况（n为大于2的偶数）?若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。
    这是一道数学问题结构性变式题，解决此问题的关键是找出源问题。本题中的问题(1)是否可以看作源问题呢？当然可以。但是，我们也不难发现，问题(1)也有更特殊位置关系的源问题（如图4、图 5所涉及的问题）。这里，我们将图4、图5所涉及的问题看作源问题，图1所涉及的问题看源问题的水平变式题，而图2、图3所涉及的问题看作源问题的垂直变式题。
    
    在数学问题结构性变式教学中，源问题一般都会较早呈现，但也不尽然。本例中的源问题就没有直接呈现。因此，找出问题结构性变式的源问题是解决本例的关键。在找出源问题后，我们要对源问题加以深入的探究，找出源问题与变式题之间的关系，获得解决问题的一般规律，从而形成新的知识结构。只有这样，问题才可以迎刃而解。
    2.一个基于教材的数学问题结构性变式实例的设计
    例3 如图6，某公路的同一侧有A，B，C三个村庄，要在公路边建一货运站P，向A，B，C三村送农用物资，线路是：P→A→B→C→P和P→C→B→A→P（公路边近似看作公路上）。请在公路上找出点P，使送货路程最短。
    
    本题的解决方案见图7，P点即为所求点。
    实际上，本题是人教版数学八年级上教材p131例题的水平变式题，只是增加了一点C，但也正是这一点的增加，有些学生的思维就出现了障碍，找不到解决此类问题的数学结构。让我们重新审视一下教材中的这一源问题。
    源问题 （人教版数学八年级上教材p131）如图8，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
    
    图9中的点P就是所求的点，此时PA+PB最短，这是教材给出的答案。
    但是我们也发现，在现实生活中，并不是每个镇的燃气管道都要和泵站相连，也就是说，如果源问题中去掉“分别”两字，就成为一个与源问题不同结构的垂直变式题，此时所用的燃气管线的最短长度可以是AP+PB的长度，或者是AA'+AB长度，或者是AB+BB'的长度（图10）。由于具体过程较为复杂，这里不再展开。
    
    图10
    通过对变式题的进一步分析，学生会从原来的一定的心理定势中摆脱出来，从而重新审视源问题的结构，避免了错觉的产生，这时，学生的思路大为开阔，思维更加活跃。
    另外，我们可以再进一步对源问题作如下的垂直变式。
    变式子问题：如图11，已知直线l与l异侧两点A，B，在l上求作一点P，使线段(PA-PB)长度最大。
    
    图12中的P点就是所求的点，此时(PA-PB)最短。
    本题将源问题中用到的“三角形两边之和大于第三边”这一性质转为运用“三角形的两边之差小于第三边”的性质，虽然两条性质是统一的，但是两题的结构还是有所变化，通过与源问题的比较，进一步让学生掌握解决源问题以及变式题的方法的实质。
    四、初中数学问题结构性变式教学的反思
    1.数学问题结构性变式教学的认知理论与新课标教学理念
    问题表面特征与数学结构特征彼此相异，又互相补充。从认知角度看，表面形式变化的水平变式题相对于数学结构变化的垂直变式题而言，认知负荷就显得相对较小。因此，水平变式应是垂直变式的基础。数学问题结构性变式教学中，从源问题到变式题、从水平变式题到垂直变式题的设计过程，充分体现了认知的连续性，变式教学将数学知识串成一条线，使得杂乱无章的知识形成一个体系，整个过程是逐渐地增加学生的认知负荷，逐步地提高学生的数学能力，体现了新课标初中数学教学中强调的“突出知识之间的联系与综合”的特征和理念在新课标下的初中数学教学中，数学知识的难度整体有所下降，但关注同一领域内容之间的相互连接，关注不同知识领域之间的实质性关联，从更高的视角适当把握数学知识的内涵和外延，抽象出数学问题的本质特征，提高学生分析问题、解决问题的能力，都是数学新课标所提倡的。
    2.数学问题结构性变式教学设计中的几个问题
    (1)水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”的把握问题
    数学问题结构性变式教学通过水平变式题的适当“重复”，使得“双基”教学得以实现，也为垂直变式题的解决打下了坚实的基础，同时通过垂直变式题的恰到“突破”，使得学生思维得以尽情发散，学生分析问题、解决问题能力得以进一步提高。而水平变式题“重复”的量和垂直变式题“突破”的度的把握并不简单，是进行数学问题结构性变式教学最值得研究的一个问题，根据物质变化从量变到质变的原理，在水平变式题“重复”一定程度的情况下，自然会“突破”量变，走向质变。因此，在适当的时候，抛出垂直变式题，以达到水到渠成的效果。一般情况下，对于水平变式题的设计尽量控制在3至 4题左右，垂直变式题控制在2至3题，难度也不要突破新课标的要求。当然，由于所教内容不同，所教学生层次不同，水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”在教学中要作精心的设计，同时结合课堂教学进行适当的调整和改变。总之，合理地安排水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”，才能达到既有量的积累，又有质的飞跃。
    (2)数学问题结构性变式教学中变式题的衔接问题
    数学问题结构性变式教学中的变式题衔接问题包括水平变式题之间的衔接，垂直变式题之间的衔接，以及水平变式题与垂直变式题之间的衔接，而水平变式和垂直变式的衔接是数学问题结构性变式教学设计的难点和关键。在进行数学问题结构性变式教学设计时不要将原本需要淡化的、不重要的问题引向无用的死角，更不要将原本没有联系的知识或者联系不密切的知识加以过度的延伸，这样不仅增加学生的负担，达不到教学设计预期的要求，同时也起不到形成数学知识网络的目的。总之，在进行数学问题结构性变式教学过程中，一定要注意变式题之间的衔接问题，不要为了追求新颖题型、较难题的教学而忽视数学知识的连续性和学生能力递进性，导致数学知识结构的大跳跃，出现知识的“真空”状态。
    3.数学问题结构性变式教学的局限性
    数学问题结构性变式教学在初中数学教学中有提倡和推广的价值，实际上，许多教师已经或多或少地进行着这方面的实践。在初中数学教学中，由于所涉及到的数学知识的外延不够宽，加上学生思维的广度和深度不够，所以在进行数学问题结构性变式教学的时候，水平变式题的选择相对更多一点，这一点可从新课标的要求和近几年的中考题中得以体现。也正因为这样，垂直变式题在初中数学教学中的局限性有时会显得比较突出，尤其是在新课教学中，而垂直变式题则比较适合章节的习题课、复习课、活动课，特别是在总复习中运用。因此，在进行数学结构性变式教学的实践中，要认识数学问题结构性变式教学的适用性和局限性，精心设计变式题，不要让数学结构性变式教学“变味”。
    总之，在现行的初中数学教学中，适当地利用问题结构性变式教学会对数学知识网络的形成、对学生数学能力的提高会带来意想不到的效果。在进行数学问题结构性变式教学时，既要关注水平变式题的设计和教学，也要兼顾垂直变式题的设计和教学。只有这样，才能既不停留于水平变式的“浅层”特征的学习，也不盲目于垂直变式的“深层”特征的理解，也只有这样，才能将两者的优点充分发挥出来，促进学生思考问题、解决问题能力的提高。当然，在进行数学问题结构性变式教学和设计的时候，选择合理的源问题加以变式、关注变式题之间的衔接问题、把握水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”，以促进学生在已有认知水平的基础上，数学知识结构和数学能力都能循序渐进，螺旋上升的发展。

朱仁江 浙江台州市双语学校，318000