新课程强调教师是学生学习活动的组织者、引导者和合作者。教师的多角色导致了数学课堂实施的高技术要求。一方面，数学课堂中要让学生自主探究，就需要学生个体对数学学习内容进行独立自主的信息加工；另一方面，重视学生合作交流的社会建构作用，也就是在交流中接受其他成员的帮助，在观点碰撞中产生创新的火花，同时也接受来自教师的指导与帮助。这就产生了学生学习的独立性与依存性、教师指导的暗示与直白这两个具有相反两极的动态系统。
    有效的数学课堂要求学生的学习系统与教师的指导系统互相匹配，这就需要教师在进行有效设计的基础上，结合课堂实时观察，对数学课堂上学习活动的指导进行现场实时决策，决策的内容有：（1）学习活动指导的时机；（2）学习活动指导介入的深度（直白程度）；（3）学习活动指导的方式。数学学习引导包括学习活动的管理与维持性引导、学生活动中的启发和对学生观点的概括与提升。
    一、学习活动的管理与维持性引导
    这种引导主要体现在学习开始时的动机激发和注意选择定向引导、活动转换时的引导和学习组织方式的引导（独立探究还是合作交流）。例如，在圆与圆的位置关系学习开始时，展示“月有阴晴圆缺”的情境（如图1）。
    
    图1
    富有诗意的情境能引起学生的情感共鸣，有效地激发学生的学习动机。但是这个情境中包含的信息太丰富，既包含了两圆位置关系的数学关系，也包含了诗情画意、天体现象、作者的个体情感等许多非数学的信息，若不进行合理引导，学生可能会产生各种各样的选择性注意，课堂上会出现非数学的“想入非非”，这样反而影响了主题学习。为了避免这种情况的发生，在展示这一情境后紧接着应该用适当的方法排除无关信息的干扰，如提出问题“在这幅图中有哪些学习过的基本图形？这幅图体现了这些图形之间的什么关系？”引导学生提出本课的学习主题“研究圆与圆之间的位置关系”。当学生提出学习主题后，又需要引导学生对图1中的不同位置关系进行分类，从分类中归纳出五种位置关系——这就是活动转换时的引导。对学生学习组织方式的引导是根据学习任务特点来进行的，例如，在圆与圆的位置关系分类活动中，由于学生分类标准的不同可能产生不同的分类（在分类前教师一般不明确告诉学生分类的标准），这就需要组织学生讨论，组织讨论的维持性引导一般用“直白”语言提出明确的要求。如果探究过程需要合作进行（如统计概率试验等），则应用简单明确的语言提出要求并完善合作小组的组织结构。
    二、学生数学信息加工中的启发性引导
    这种引导往往出现在学生的数学探究遇到困难、思维出现明显偏离和学习策略需要转换的时候。例如，在对圆与圆的位置关系进行分类时，部分学生因为不能在大脑中呈现图形的动态变化过程、发现这种变化的本质特征而遇到分类困难，这时就需要教师展示图形的动态变化过程，帮助学生进行合理分类；当然有的学生会仅根据公共点的个数分成三类：有一个公共点、有两个公共点和没有公共点。这也是一种分类方式，不能简单地否定，而要让学生通过观察发现没有公共点和有一个公共点时下面两种情况具有悬殊的差别（如图2、图3）。
    
    图2
    
    图3
    从中发现需要对这两类情况继续进行合理分类。学生在数学信息加工过程中，由于各种原因，往往会出现知识表征的偏差或者错误的推理。例如，在反比例函数图像的教学中，学生画图受到一次函数画图方法的负迁移影响，出现种种错误，下面以画函数的图像为例进行说明（如图4）。
    
    图4
    这时，教师需要组织讨论，分别对画出的这几个函数图像用讨论自变量取值范围和取一些特殊对应值的方法进行分析，发现错误所在。组织学生分别从负数接近0和正数接近0两个方向对自变量x多取几组对应值进行描点，从中发现当x从横轴负方向越来越靠近0时，图像上的点沿着y轴负方向离开原点越来越远；当x从横轴正方向越来越靠近0时，图像上的点沿着y轴正方向离开原点越来越远，说明当自变量取0时，图像是“断裂”的。通过观察函数的对应值，发现函数图像成中心对称，从而让学生体验反比例函数图像的本质特征，引导学生在相互讨论和观察分析中对反比例函数形成正确的图像表征。学生在初学证明时，往往受图形的误导而人为地添加条件导致无效推理，这时就需要教师用追问理由的方法引导学生发现错误，纠正错误。在证明中，学生还往往因为对命题之间是否等价混淆不清，把互逆的命题（或互否命题）当作等价命题而进行无效推理，这就需要教师引导学生辨别命题之间的关系，对推理的逻辑规范进行说明，并举反例说明互逆（互否）命题的不等价性。
    学生在数学信息加工中，会用到各种认知策略，在信息加工过程中进行认知策略的转换是进行高效率学习的重要保证，这是在工作记忆的平台上进行的。认知策略包括复述、精细加工和组织。对于数学学习而言，复述包括对数学结构、对象与关系的语义描述，通过这种复述，使研究对象的特征保持在工作记忆，发挥研究对象的任务目标线索和结构特征线索的作用；精细加工包括对数学对象、结构和关系的观察（以形成鲜明的知觉表象）、表征（用各种方法描述对象、结构和关系）、推理（通过实验、归纳、类比提出猜想，用逻辑推理方法进行假设检验）；组织则是通过对知识的重新组织和系统化，形成能够包括新旧知识经验的新的认知结构。
    学生在数学学习过程中，除了需要使用上述的认知策略外，还会用到计划、监控、调节、时间管理、努力程度管理、支持与寻求帮助等非认知策略，这些策略的合理运用和转换是实现高效率学习的策略保障。
    在数学课堂中，需要引导学生有意识地合理运用各种学习策略，当学习活动的任务转换时，策略（特别是认知策略）也需要随之转换。学生认知策略的应用时机存在于对数学信息加工的过程中。例如，在研究直线与圆位置关系的过程中，学生需要经历图形观察（形成直观表象）、几何描述（用公共点个数描述）到数形结合描述（用圆心到直线的距离与圆的半径比较描述）的过程，在此过程中，需要引导学生运用“实际问题数学化—数学问题转化”的认知策略，但学生对直线与圆位置关系的数形结合描述会感到困难，主要困难是想不到用圆心到直线的距离作为刻画直线与圆位置关系的关键量。如在研究直线与圆相离时，学生感到困难的原因是不能把直线看作是点的集合，不能把直线与圆没有公共点进行精细化的表征方法的转换，不能转换到“直线上的所有点都在圆外”从而进一步转换到“直线上距离圆心最近的点在圆外”。这时，就需要教师引导学生用“点集”的观点看直线，把“直线上的所有点”的位置问题用“直线上到圆心距离最近的点”与圆的位置进行等价转化，帮助学生合理地运用数学对象的多种表征和表征转换的策略。当学生完成对直线与圆的位置关系的知识建构后，需要引导学生用知识“组织”策略对点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系的知识与研究方法进行再组织，形成圆的有关位置关系的整体知识结构。
    三、对数学学习活动的概括性引导
    一方面，初中学生具有丰富的想象力，对事物有批判倾向，这使得学生在数学课堂上可能产生许多思维的闪光点，也能对事物的合理性进行质疑；另一方面，由于受到知识水平与学习经验的限制，学生的数学概括与思维往往停留在表面和经验水平上，在推理过程中，使用经验推理多而使用逻辑推理少，使用假设检验推理更少。例如，在乘法公式的学习中，经常出现的错误，这个错误不仅出现在公式的形成过程，而且往往延续到以后的公式应用中，其主要原因是从那里进行类比得到了这个结论，只用经验推理（经验类比）而没有进行逻辑证明。即使教师上课时再三强调，学生做作业时还会出现大量的这种错误，原因是：学生解题时大量使用“模式识别”的策略从记忆库中直接提取答案，用经验推理进行判断，而没有进行逻辑推理，形式的相似导致先入为主的经验直接再现。
    1.数学学习活动的概括性引导的时机
    数学学习活动的概括性引导的时机主要在学生某一片断学习任务完成后形成对知识的初步理解和学生互相讨论交流后思维出现闪光点（或认知偏差）时。这种引导的目的是总结学生的观点，利用学生在课堂中出现的新观念进行拓展性、反思性的思考，通过教师画龙点睛式的概括引导，提升学生对数学本质的认识，进一步发展学生的数学思维水平，或者引导学生进一步探究。
    2.数学课堂中概括性引导的方法
    （1）利用学生课堂中的思维偏差，在纠正错误中进行概括和提升引导。
    例如，在人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册“分式”复习课上，教师提出了下面的问题：
    我们在煲汤时，当在原来的汤中加盐，则汤就变咸了。如果原来的汤有b克盐，汤中溶解了a克盐，后加入的盐是m克，从中能发现分式的什么性质？用数学式子表示这个性质。
    一名学生很快得出了如下的结论：，另一名学生补充了相应的条件：a＞0，b＞0，c＞0。而在此时，有一名学生提出了异议：这个结论是错误的，如取a＝2，b＝1，m＝1，则，与上述结论相反！这时，教师就引导学生对得到的性质进行推理论证，提出“能用数学的方法比较和的大小吗？”让学生从数学的角度对归纳出的结论进行讨论，用做差法比较：，发现在a，b，m为正数的情况下，当b＞a时，有，当b＜a时，则有。而在问题背景中，b＞a恒成立，所以有“在汤中加盐后变成”的现象。在这个教学片断中，教师利用学生开始时出现的错误，引导学生从数学的角度对观察到的现象进行逻辑检验，去伪存真，理解生活现象的数学本质，进行了有效的概括性引导。
    （2）当学生的思维出现闪光点时，进行概括性引导。
    例如，在九年级复习中，教师提出下面的问题：
    如图5，AB是半圆的直径，O是圆心，AB＝10，CD是一条平行于直径AB的弦，CD＝8，半圆O′与CD相切，圆心O′在AB上，求图5中阴影部分的面积S。
    
    图5
    课堂上，大部分学生用垂径定理求出⊙O′的半径，然后再用两半圆的面积差求出阴影部分的面积。当一名学生提出平移图5中的半圆O′，使⊙O′的圆心O′与⊙O的圆心O重合，把所求面积变成半圆环的面积时（如图6所示），教师进行了概括性的引导：“用各种变换（相似变换、等积变换和全等变换）改变图形，使陌生的图形面积转化为熟悉的图形面积是求不规则图形面积的有效方法。”概括了求面积问题中的图形变换思想，提高了学生的数学素养。
    
    图6
    （3）当学生的讨论与交流结束时，教师在倾听学生的汇报时进行合理的概括性引导。
    这种概括性引导的功能是，引导学生对数学信息加工过程和结果进行反思，从中总结出活动的程序性经验，提炼数学思想。例如，在用坐标表示平移和用坐标表示轴对称的教学过程中，当学生完成坐标规律的归纳后，教师应对发现规律的程序进行概括性的总结：“画图形—写坐标—找规律”，“形可以给我们以直观的启示，数可以精确地刻画形的规律和本质”，使学生对数形结合思想的体验得到升华。

作者单位：吴增生，浙江仙居县教研室/蒋伟连，浙江仙居县白塔中学