平行四边形以及由它衍生而来的特殊平行四边形是继三角形后接触到的第二类封闭图形。它既是平面几何的基本图形，又是平面几何研究的主要对象，其中蕴含着许多重要的数学思想方法，现举例说明如下。
    一、转化思想
    例1 如图1，在梯形ABCD中，AB∥BC，AD＜BC，E，F分别为AD，BC的中点，且EF⊥BC。求证：∠B=∠C。
    分析 要证∠B=∠C，可把它们转移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质，证明这个问题。
    
    证明 过E作EM∥AB，EN∥CD，交BC于M，N，得平行四边形ABME和平行四边形NCDE。于是AE=BM，DE=CN。（如图2）
    因为E，F分别为AD，BC的中点，所以AE=DE，BF=CF。所以BM=CN，FM=FN。
    又因为EF⊥BC，
    所以EM=EN，∠1=∠2。
    因为AB∥EM，CD∥EN，
    所以∠1=∠B，∠2=∠C。
    所以∠B=∠C。
    例2 如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=7，BC=12。求证：∠B=60°。
    
    图3
    分析 已知腰的条件，可平移一腰，将较分散的已知条件集中起来，为解决问题创造条件。
    证明 过点A作AE∥DC交BC于E，由AD∥BC，知四边形AECD为平行四边形，故AD=EC，AE=CD。
    因为AB=CD=7，AD=5，BC=12，
    所以BE=BC-CE=12-5=7,AE=CD=AB=7。
    所以△ABE为等边三角形，从而∠B=60°。
    【评注】 转化思想（又叫化归思想）就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想。上述两例将梯形通过分割或平移一腰，转化为三角形和平行四边形来处理，显得十分简捷，这是解决梯形问题的基本思想和方法。
    二、数形结合思想（代数法）
    
    
    例4 如图5，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动。如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？
    
    图5
    分析 观察图形，要使四边形APQD为矩形，只需AP=DQ即可。
    解 由已知，有AP∥DQ，∠A=90°。当PA=DQ时，四边形APQD是矩形。依题意，则有4t=20-t，所以t=4(s)。即当t为4s时，四边形APQD是矩形。
    【评注】 以上两例是运用几何图形的性质或判定定理，通过建立方程（组）及恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题予以解决。这种用数形结合思想和代数方法解决几何问题的思想方法，应引起同学们的重视。
    三、类比思想
    
    
    分析 先认真阅读题中给出的材料，理解、归纳其中的推理方法，然后探索、猜想不同图形中指定的三个三角形面积之间的数量关系，再利用题中的说明方法类比证明所猜想的结论。
    解 猜想结果：
    
    【评注】 此例要求学生解题时，先要读通、读懂题意，在理解的基础上分析所考查问题与阅读材料的相关点，进而采用归纳类比、迁移转化等思想方法解决问题。
    四、变换思想
    例6 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120cm，宽30cm的长条形桌面。现只有如图10所示的长80cm，宽45cm的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求（只要画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸）。
    分析 本例是以矩形为载体的拼图题，该题型是近年中考的一个亮点，它着重考查学生对图形变换理解的能力，以及动手操作能力和思维的灵活性。
    解 设计两种拼接方案如下：
    
    图10
    
    图11
    例7 如图12，正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B，C，E在一直线上，连接BG,DE。
    
    (1)请你猜测BG，DE的位置关系和数量关系？并说明理由；
    (2)若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图13，BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由。
    分析 运用正方形和旋转变换的性质即可求解。
    解 (1)BG=DE，BG⊥DE。理由如下：
    延长BG交DE于点H。由题意知，把△BCG绕点C顺时针旋转90°，显然与△DCE重合，故有BG=DE，∠GBC=∠EDC。由于∠EDC+∠CED=90°，所以∠GBC+∠DEC=90°，故∠BHE=90°。
    (2)上述结论也存在。理由如下：
    设BG交DE于H，BG交DC于K，把△BCG绕点C顺时针旋转90°，显然与△DCE重合，故有BG=DE，∠KBC=∠KDH。又因为∠KBC+∠BKC=90°，可得∠DKH+∠KDH=90°，从而∠KHD=90°，即BG⊥DE。
    【评注】 变换思想即运用平移、旋转、对称等知识和方法来构造图形解决几何问题。例6和例7利用变换、旋转知识，结合矩形、正方形的性质，把分散的条件和结论有机联系起来，寻求解题思路，让同学们感受到“变换”的魅力。

蒋福 四川广元市宝轮中学初中部，628003